Bessel 方程
2020-09-01 18:03:14
Bessel方程是形如$$frac{mathrm{d}^{2}w}{mathrm{d}z^{2}}+frac{1}{z}frac{mathrm{d}w}{mathrm{d}z}+left(1-frac{nu^{2}}{z^{2}}right)w=0 quad (mathrm{Re},nu geqslant 0)$$的二阶线性常微分方程，其中 $z=0$ 是正则奇点， $z=infty$ 是非正则奇点。
方程来源Bessel方程可通过Helmholtz方程在柱坐标系下分离变量得到。例如，当Helmholtz方程中的参数满足 $k^2 - lambda = 0$ 时，通过变量替换 $x = sqrt{k^2 - lambda},r$ 和 $y(x) = R(r)$，可将方程转化为Bessel方程圆郑的标准形式。
方程的奇点分析
正则奇点 $z=0$：方程在 $z=0$ 附近的行为可通过Frobenius方法分析，即假设解的形式为幂级数 $w(z) = sum_{k=0}^infty c_k z^{k+rho}$。
非正则奇点 $z=infty$：方程在无穷远处的行为更复杂，通常需要其他方法（如渐近分析）处理。
Frobenius方法求解将幂级数解代入方程后，通过比较最低次幂项的系数，得到指标方程：$$rho^2 - nu^2 = 0 implies rho = pm nu.$$进一步分析递推关系，得到系数 $c_n$ 的通项表达式：
对于偶数项 $c_{2n}$：$$c_{2n} = frac{(-)^n}{n!} frac{Gamma(rho+1)}{Gamma(n+rho+1)} frac{1}{2^{2n}} c_0.$$
对于奇数项 $c_{2n+1}$：当 $rho = nu$ 时，$c_{2n+1} = 0$（即解中不含慎运奇数幂项）。
Bessel函数的定义根据指标 $rho$ 的不同取值，得到两个线性无关的解：
第一类Bessel函数 $mathrm{J}nu(z)$（对应 $rho = nu$）：$$mathrm{J}nu(z) = sum_{k=0}^infty frac{(-)^k}{k! Gamma(k+nu+1)} left(frac{z}{2}right)^{2k+nu}.$$
第二类Bessel函数 $mathrm{J}{-nu}(z)$（对应 $rho = -nu$）：$$mathrm{J}{-nu}(z) = sum_{k=0}^infty frac{(-)^k}{k! Gamma(k-nu+1)} left(frac{z}{2}right)^{2k-nu}.$$
解的线性相关性当 $nu$ 非整数时，$mathrm{J}nu(z)$ 和 $mathrm{J}{-nu}(z)$ 线性无关，构成方程的通解基础；当 $nu$ 为整数时，两者宽腔梁线性相关，需引入其他函数（如Neumann函数）形成通解。
应用背景Bessel方程在波动问题、热传导、静电场等物理问题中广泛出现，尤其在柱对称系统中，其解（Bessel函数）描述了波或场的径向分布。
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