分治算法解最大子序列和问题
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星雪伊
2026-01-15 12:56:23
这是一道经典的算法题，在LeetCode上的编号是53。
本文以这道题为例学习分治算法
分治算法的核心是把问题分成两个大致相等的子问题，然后递归对它们求解，这是“分”的部分，在“治”这一阶段将两个子问题的解合并到一起求解。
根据算法的思想，把数组分割成两部分，左半部分和右半部分，最大子序列出现的位置可能在：
递归是这个算法里非常重要的一个环节，它把数组划分到最小单元来进行比较
把数组分成了四份，每一份只有两个元素。计算的过程是从左到右进行，比较左边元素，右边元素和两个元素之和的大小，取最大值，也就是 max(4,-3,(4+(-3))) ，结果是4。同理，整个数组的左半部分最大值是6，最大子序列就是 4,-3,5 。
下面是用JavaScript实现的分治算法实现
设 是求解大小为N的最大子序列和问题所花费的时间。
经过分析得到两个方程组
为了简化计算，设置两个前提：
得到方程 。
两边同时除以 ,得到：
这个方程对于任意2的幂都成立，所以下面的方程都是正确的
一共有 个方程，所有方程两边相加，消去相同项后得到：
得到最终的结果：
以上的分析基于 是2的幂这个假设，如果不满足，方程不成立；当 不是2的幂时，需要加入一些复杂的分析，但是大 的结果不变。
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