进制转换：二进制、八进制、十进制、十六进制相互转换

一、将二进制、八进制、十六进制转换为十进制

转换的核心思想是“按权相加”。

• 整数部分：从右往左看，第i位的位权等于N^(i-1)（N为进制数）。将各个位的数字乘以位权，然后再相加，就得到了十进制形式。

  二进制：例如，11010 = 1×2^4 + 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 = 26（十进制）

  八进制：例如，53627 = 5×8^4 + 3×8^3 + 6×8^2 + 2×8^1 + 7×8^0 = 22423（十进制）

  十六进制：例如，9FA8C = 9×16^4 + 15×16^3 + 10×16^2 + 8×16^1 + 12×16^0 = 653964（十进制）

• 小数部分：从左往右看，第j位的位权为N^(-j)。将各个位的数字乘以位权，然后再相加（注意结果可能为无限小数，需按精度要求截取）。

  二进制：例如，1010.1101 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 + 1×2^(-1) + 1×2^(-2) + 0×2^(-3) + 1×2^(-4) = 10.8125（十进制）

  八进制：例如，423.5176 = 4×8^2 + 2×8^1 + 3×8^0 + 5×8^(-1) + 1×8^(-2) + 7×8^(-3) + 6×8^(-4) = 275.65576171875（十进制）

二、将十进制转换为二进制、八进制、十六进制

• 整数部分：采用“除N取余，逆序排列”法。

  将N作为除数，用十进制整数除以N，得到一个商和余数，保留余数；

  用商继续除以N，得到新的商和余数，保留余数；

  如此反复进行，直到商为0时为止；

  把先得到的余数作为N进制数的低位数字，后得到的余数作为N进制数的高位数字，依次排列起来。

• 小数部分：采用“乘N取整，顺序排列”法。

  用N乘以十进制小数，得到一个积，包含整数部分和小数部分；

  取出积的整数部分，再用N乘以余下的小数部分，得到新的积；

  如此反复进行，每次都取出整数部分，直到积中的小数部分为0或达到所要求的精度为止；

  把取出的整数部分按顺序排列起来，先取出的整数作为N进制小数的高位数字，后取出的整数作为低位数字。

• 示例：

  十进制36926转换为八进制：36926 ÷ 8 = 4615 余 6；4615 ÷ 8 = 576 余 7；576 ÷ 8 = 72 余 0；72 ÷ 8 = 9 余 0；9 ÷ 8 = 1 余 1；1 ÷ 8 = 0 余 1。因此，36926（十进制）= 110076（八进制）。

  十进制42.6875转换为二进制：42 ÷ 2 = 21 余 0；21 ÷ 2 = 10 余 1；10 ÷ 2 = 5 余 0；5 ÷ 2 = 2 余 1；2 ÷ 2 = 1 余 0；1 ÷ 2 = 0 余 1。0.6875 × 2 = 1.375（取整数1）；0.375 × 2 = 0.75（取整数0）；0.75 × 2 = 1.5（取整数1）；0.5 × 2 = 1（取整数1）。因此，42.6875（十进制）= 101010.1011（二进制）。

三、二进制和八进制、十六进制的转换

• 二进制与八进制：

  二进制整数转换为八进制整数：每三位二进制数字转换为一位八进制数字，从低位向高位依次进行，高位不足三位用零补齐。

  八进制整数转换为二进制整数：每一位八进制数字转换为三位二进制数字，从低位向高位依次进行。

• 二进制与十六进制：

  二进制整数转换为十六进制整数：每四位二进制数字转换为一位十六进制数字，从低位向高位依次进行，高位不足四位用零补齐。

  十六进制整数转换为二进制整数：每一位十六进制数字转换为四位二进制数字，从低位向高位依次进行。

示例图片展示：

通过上述方法和示例，可以精准地进行二进制、八进制、十进制、十六进制之间的相互转换。