数列收敛则其极限是唯一聚点

数列收敛时其极限是唯一的聚点，证明如下：

一、证明收敛数列的极限是一个聚点

依据极限定义展开：设数列${x_n}$收敛到$x$，根据数列极限的定义，对于任意给定的正数$varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n > N$时，有$vert x_n - xvert < varepsilon$。
构造特定$varepsilon_m$并分析邻域：令$varepsilon_m = frac{1}{2^m} > 0$（$m$为正整数），对于这个任意的$varepsilon_m$，总存在$N_m$，当$n > N_m$时，$vert x_n - xvert < varepsilon_m$。任取$delta > 0$，不妨令$delta = varepsilon_m = frac{1}{2^m}$，此时在$x$的邻域$O(x,delta)$（即开区间$(x - delta,x + delta)$）内，包含的数列项是$N_m$以后的所有点。因为$N_m$是确定的，而$n$可以无限增大，所以$N_m$以后的点有无限个。根据聚点的定义，如果一个点$x$的任意邻域内都含有数列${x_n}$的无限多个点，那么$x$就是数列${x_n}$的聚点，所以极限$x$是一个聚点。

二、证明收敛数列极限的唯一性

提出假设：假设存在除了$x$以外的另一个聚点$y$，即$xneq y$，那么$vert x - yvert > 0$。
根据聚点定义分析：由聚点的定义可知，对于任意的$delta>0$，在$y$的邻域$O(y,delta)$（开区间$(y - delta,y + delta)$）中包含数列${x_n}$的无穷多个点。
利用数列收敛性质取$varepsilon$和$delta$：因为数列${x_n}$收敛到$x$，取$varepsilon=frac{vert x - yvert}{3}>0$，同时令$delta = frac{vert x - yvert}{3}>0$。根据数列极限的定义，存在正整数$N$，使得当$n > N$时，有$vert x_n - xvert < varepsilon=frac{vert x - yvert}{3}$。
运用三角不等式推导矛盾：利用三角不等式$vert a - bvertleqslantvert a - cvert+vert c - bvert$，对于$vert x - yvert$，有$vert x - yvert=vert(x - x_n)-(y - x_n)vertleqslantvert x_n - xvert+vert x_n - yvert$。由于$vert x_n - xvert < varepsilon=frac{vert x - yvert}{3}$，所以$vert x_n - yvertgeqslantvert x - yvert-vert x - x_nvert>vert x - yvert-frac{vert x - yvert}{3}=frac{2vert x - yvert}{3}>frac{vert x - yvert}{3}=delta$。这表明当$n > N$后，$x_n$都不在$y$的邻域$O(y,delta)$内。那么$y$的邻域$O(y,delta)$内最多只有有限个$x_n$（个数小于$N + 1$），这与$y$是聚点（任意邻域内都有数列的无限多个点）的定义相矛盾。
得出唯一性结论：所以假设错误，即不存在除了$x$以外的其他聚点。综上，数列收敛时其聚点为极限$x$，且此极限唯一。

热门标签